Verschiedene Verfahren zum Lösen von Extremalaufgaben

Zusammenfassung

Am Beispiel der Extremalaufgaben wurde gezeigt, dass der leider zu häufig gepflegte übertriebene Formalismus in der Mathematik zu wenig einsichtigen, der Intuition widersprechenden Lösungsverfahren führt; im Fall der Extremalaufgaben sogar zu wenig effizienten Lösungsverfahren. Der Begriff der Ableitung, das Kalkül der Differentialrechnung werden für die Lösung von Extremalaufgaben von Funktionen mit einer Variablen nur in Ausnahmefällen benötigt. Elementare Kenntnisse, im wesentlichen das Auswerten von Funktionen und die Idee einer iterativen Intervallschachtelung, genügen zumindest in den meisten für die Schule zugänglichen Aufgabenstellungen, die traditionellerweise mit der Methode "Ableiten und Nullsetzen'' gelöst werden. Allgemeinere, anwendungsorientierte Extremalaufgaben können damit bereits sehr früh im Unterricht -- etwa im Zusammenhang mit der Einführung des Funktionsbegriffs -- behandelt werden.

Selbstverständlich bleibt der Ableitungsbegriff auch bei dieser neuen Sichtweise ein zentraler Begriff der Analysis. Die neuen Hilfsmittel (Computer Algebra Systeme, Graphikrechner) erfordern aber eine konsequente und grundlegende Neuüberprüfung der traditionellen Stoffpläne. In vielen
Bereichen sollten die oft näherliegenden Verfahren aus der diskreten Mathematik mehr gewichtet und das Zusammenspiel von diskreter und kontinuierlicher Mathematik den Lernenden bewusst gemacht werden.

Ganz allgemein sollte die Schulmathematik sich mehr dem Anwenderstandpunkt zuwenden: Anstelle eines strukturellen Vorgehens treten funktionelle Ueberlegungen. Ein funktioneller, experimenteller Zugang entspricht oft auch der historischen Entwicklung. Ausgehend von Alltagsproblemen lassen einfache Computerexperimente (z. B. Visualisierungen) die Schülerinnen und Schüler Muster und Gesetzmässigkeiten selber intuitiv erfahren und die daraus abgeleiteten allgemeinen mathematischen Zusammenhänge und Regeln werden so einfacher nachvollziehbar.

Die Mathematiklehrkräfte brauchen den Mut und die fachliche Unterstützung, um traditionelle Methoden aus den Lehrplänen und Lehrmitteln zu kippen und durch den heutigen Hilfsmitteln angepasste Verfahren zu ersetzen. Nur ein Wechsel der Hilfsmittel -- zum Beispiel Einsatz eines Taschenrechners mit eingebautem CAS -- ohne eine Neuausrichtung des Inhaltes ist "alter Wein in neuen Schläuchen''. Der Mathematikunterricht im nächsten Jahrhundert braucht neue, einfache und auf das wesentliche ausgerichtete Lehrmittel!