Keplergleichung und Zweikörperproblem

Verfasst von H.R. Schneebeli, T.P. Wihler

Worum geht es?

Typische Schulbuchaufgaben zur Physik führen auf Gleichungen, die sich mit Schulalgebra befriedigend und formal lösen lassen. Die Rolle von numerischen Verfahren in der Physik wird in der Schule ausgeblendet. Zu Unrecht, denn formal unlösbare Gleichungen begleiten wichtige Fortschritte in der Entwicklung der Physik und ihrer Anwendungen in der täglichen Praxis.

Die Keplergleichung kann benutzt werden, um im Zweikörperproblem die Position des Planeten zu vorgegebener Zeit zu berechnen. Sie lässt sich im Rahmen der Schulmathematik vollständig herleiten und numerisch bearbeiten. Dabei kommen elementare geometrische Eigenschaften der Ellipse und der Normalaffinität zwischen Ellipse und Kreis zum Zuge. Die Keplergleichung lässt sich mit einem der numerischen Solver des Taschenrechners lösen oder durch selbst programmierte numerische Lösungsverfahren wie Bisektion, Fixpunktiteration oder Newton-Raphson-Verfahren. Die Keplergleichung spielt eine Rolle bei der Positionsberechnung zum Beispiel der GPS-Satelliten, wenn die Zeit vorgegeben wird und man die Satellitenposition benötigt.

Wer die Plancksche Strahlungsformel akzeptiert und Differential- und Integralrechnung kennt, kann daraus die Wiensche Verschiebungsformel herleiten. Diese Formel gestattet es aus dem Licht von Sternen deren Oberflächentemperatur zu ermitteln oder allgemein aus der elektromagnetischen Abstrahlung eines schwarzen Körpers auf dessen Temperatur zu schliessen. Diese Technologie wird bei der Fernerkundung mit Satelliten oder in der Astronomie routinemässig eingesetzt.

Das Beispiel zeigt klar, wie weit die algebraischen Mittel tragen können und wo Numerik eingesetzt werden muss. Die Algebra ist wesentlich, um das Problem in eine handliche Gestalt zu bringen und aus dem Ergebnis einer numerischen Rechnung auf ein Naturgesetz in algebraischer Formulierung zu schliessen.

Der Text geht auch auf einige historische Aspekte der Entwicklung der Physik und der sie begleitenden Mathematik ein.

Downloads

	Einleitung	PDF [98 KB]
	Von den Keplergesetzen zur Keplergleichung und zum Planetenort	PDF [207 KB]
	Von Plancks Gesetz zu Wiens Gesetz via Numerik	PDF [206 KB]