Numerik » Kleinstquadrat - Methode

Informationen für die Lehrperson

Voraussetzungen

• Die Schüler kennen die Exponential- und die Potenzfunktionen.
• Die Schüler sollten wissen, wie man mit Hilfe des Taschenrechners oder eines Nummerik-Programmes (z.B. Matlab) ein überbestimmtes Gleichungssystem löst.

Bemerkung: Für die Theorie zur Lösung von überbestimmten Gleichungssystemen werden keine Unterlagen angeboten.

Ablauf

Hier wird ein möglicher Unterrichts-Ablauf vorgestellt. Die Unterrichtsmaterialien lassen sich jedoch beliebig kombinieren. Es ist nicht nötig, das Thema in dieser Reihenfolge zu behandeln.

1. Enaktive Einführung in das Thema mit Hilfe des mechanischen Computers. Die Schüler sehen, wie sich die Ausgleichsgerade verändert, wenn man die Messpunkte verschiebt.
2. Motivation: Wofür kann man das brauchen? Folien mit Praxis-Beispiel der Eidgenössischen Forschungsanstalt für Obst- Wein- und Gartenbau.
3. Der Lehrer gibt die Theorie zur Kleinstquadrat-Methode. Nur Interpolation mit einer Ausgleichsgerade. Nichtlineare Funktionen und Ausgleichspolynome werden erst in den folgenden Lernaufgaben behandelt. Die Schüler sollen lernen, wie man mit Hilfe des Taschenrechners oder eines Nummerik-Programms überbestimmte Gleichungssysteme löst.
4. Lernaufgabe1. Linearisieren einer nichtlinearen Funktion. Die Schüler linearisieren die Sigmoid-Funktion; dadurch können sie das Problem auf bereits Bekanntes zurückführen. Die Schüler sollen ausserdem erkennen, dass die Residuen im linearisierten und im ursprünglichen Zustand nicht dieselben sind.
5. Lernaufgabe 2 mit Applet. Die Schüler verallgemeinern die Ausgleichsgerade zu einem Ausgleichspolynom. Sie erkennen den Unterschied zwischen der Interpolation (durch die Punkte) und der Approximation (nicht durch Punkte; es entstehen Residuen > 0).
6. Ausblick: Das 2. Applet führt eine iterative Approximation mit Hilfe von Gauss-Newton durch. Wer sich für den mathematischen Hintergrund dieses Applets interessiert, kann selbständig das Dokument dazu lesen.

Anstelle des mechanischen Computers könnte man auch das Beispiel aus den Folien als Einstiegsbeispiel verwenden: Jeder Schüler nennt seine Schuhgrösse und seine Körpergrösse. Dann versucht man in der Klasse, eine Gerade durch diese Punkte zu konstruieren.

Materialien

Folgende Hilfsmittel werden auf der Materialien zur Verfügung gestellt:

• Anleitung für den mechanischen Computer
• Einführungsfolien
• Zwei Lernaufgaben
• Applet1 für Ausgleichspolynome
• Applet2 als Beispiel für nichtlineare Approximation
• Mathematischer Hintergrund zu Applet 2